Schwingungsmoden eines eindimensionalen Balkens¶

Wir wollen einen flexiblen Balken simulieren. Dazu diskretisieren wir ihn durch \(N\) Massepunkte der Masse \(m\) und verbinden diese mit Federn der Steifigkeit \(k\).

Wir vernachlässigen zur Vereinfachung Torsionssteifigkeiten und betrachten das System bei Schwerelosigkeit.

Die Modellgleichungen¶

Das Bild kommt uns bekannt vor! Wir können dieselben Modellgleichungen wie in dem Kapitel Modellierung einer Highline verwenden, allerdings vernachlässigen wir die externe Kraft und die Dämpfung.

Gehen Sie von einem “Urzustand” aus, in dem alle Massepunkte auf einer Linie liegen. Durch die Schwerkraft und das Einwirken äußerer Kräfte entstehen Verschiebungen

\[\begin{split} \mathbf{u}_i = \begin{bmatrix} x_i(t) \\ y_i(t) \end{bmatrix} \end{split}\]

der Massepunkte weg von diesem Urzustand. Die Kräftebilanzierung ergibt

\[\begin{split} \begin{align} m \ddot{\mathbf{u}}_1 &= -k(\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2) \notag \\ m \ddot{\mathbf{u}}_i &= k(\mathbf{u}_{i-1}-\mathbf{u}_{i}) - k(\mathbf{u}_{i}-\mathbf{u}_{i+1}) , \hskip4em \text{für } i=2,...,N-1 \notag \\ m \ddot{\mathbf{u}}_N &= k(\mathbf{u}_{N-1}-\mathbf{u}_N) . \notag \\ \end{align} \end{split}\]

Diese Gleichungen lassen sich in eine kompaktere Matrixschreibweise bringen. Dazu führen wir folgende Bezeichungen ein:

\[\begin{split} \mathbf{u}=\left[ \begin{array}{c} \mathbf{u}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{u}_N \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N},, \quad M = \left[ \begin{array}{cccc} m & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & m \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N \times 2N} \quad \text{und} \end{split}\]

\[\begin{split}S = \left[ \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 0 & -1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & \ddots & & \vdots \\ -1 & 0 & 2 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & -1 & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 2 & \ddots & -1 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N \times 2N}.\end{split}\]

\(M\) ist die Massematrix und \(K = k \cdot S\) die Steifigkeitsmatrix des gekoppelten Systems. Zusammengesetzt ergibt sich folgende Differentialgleichung:

\[M \ddot{\mathbf{z}} + K\mathbf{z} = \boldsymbol{0} .\]

Was hat das mit Eigenwerten und Eigenvektoren zu tun?¶

Wir erkennen die harmonische Schwingungsgleichung und machen einen entsprechenden Ansatz für die Lösung \(\mathbf{u}\):

\[ \mathbf{u}(t) = \boldsymbol{\phi} \cdot e^{i \omega t}, \]

wobei \(\boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^{2N}\) die zeitunabhängige Amplitude der beiden Komponenten jedes einzelnen Massepunktes beschreibt. Durch Einsetzen unseres Ansatzes in die Differentialgleichung erhalten wir

\[ M^{-1}K \boldsymbol{\phi} = \omega^2 \boldsymbol{\phi}. \]

\(\boldsymbol{\phi}\) ist also ein Eigenvektor von \(M^{-1}K\) zum Eigenwert \(\omega^2\).

Es gibt \(n\) Paare \((\omega_j, \boldsymbol{\phi}_j)\), wobei \(n=\text{rang}(M^{-1}K)\)
\(\omega_j\) nennt man Eigenfrequenz des Systems
\(\boldsymbol{\phi}_j\) nennt man Schwingungsmode oder Schwingungsform des Systems.

Das System hat also viele Eigenfrequenzen. Wenn wir es mit einer bestimmten Eigenfrequenz anregen, stellt sich eine bestimmte Schwingungsform ein, die im Amplitudenvektor \(\boldsymbol{\phi}\) kodiert ist. Jede Bewegung die das System ausführen kann, lässt sich als Superposition der Schwingungsmoden darstellen.

Zur Anschauung einzelner Schwingungsmoden \(\boldsymbol{\phi}_j\) animiert man sie oft mit einer festen Frequenz \(a \neq \omega_j\) und ohne Phasenverschiebung. Das folgende Skript berechnet die Eigenfrequenzen und Schwingungsmoden, in dem das entsprechende Eigenwertproblem gelöst wird, und animiert die Schwingungsmoden.

Hinweis

Wegen der Animation kann das Skript nicht interaktiv ausgeführt werden, laden Sie es sich herunter.

clear
saveImages = false;

%%

T =10*pi;  % total animation time [s] per mode
dt=pi/5;   % time step size for the animation [s]

L = 10;    % length of the rod [m]
N = 20;    % number of mass points of the rod
k = 4e6*N; % stiffness of each rod segment [N/m]
m = 10/N;  % mass of each mass point

%% construct stiffness matrix

n = 2*N;           % dimension of the problem is 2D

% construct matrix S as a sparse matrix
nnz = n + 2*(n-2); % number of nonzeros
row    = zeros(nnz,1);  %preallocate memory
column = zeros(nnz,1);
value  = zeros(nnz,1);
j=0;
for i=1:n %for all rows
    if ( i>2 && i<n-1 )
        j=j+1; row(j)=i; column(j)=i; value(j)=2; %diagonal element
    else
        j=j+1; row(j)=i; column(j)=i; value(j)=1; %diagonal element
    end
    if i>2
        j=j+1; row(j)=i; column(j)=i-2; value(j)=-1; % +2 diagonal
    end
    if i<n-1
        j=j+1; row(j)=i; column(j)=i+2; value(j)=-1; % -2 diagonal
    end
end
S = sparse(row,column,value,n,n);

% stiffness matrix (no need for mass matrix)
K = k*S;


%% calculate eigenfrequencies
[V, D] = eig(full(K/m));
eigfreqs = sqrt(diag(D));

%% animate the i--th frequency mode
k=0;
for i=1:12
    
    % get the modal shapes (eigenvectors)
    qi = V(:,i)';
    
    for t=0:dt:T
        
        k=k+1;
        
        %position of mass points = displacement + initial position
        % also scale the x-direction displacements
        positions_x = 2*qi(1:2:n)*sin(t)+L*linspace(1/N,1-1/N,N);
        positions_y = qi(2:2:n)*sin(t);
        
        %% plot the animation of the rod
        cla;
        hold on
        plot(positions_x,positions_y,'k','Marker','o','LineWidth',5,'MarkerSize',15);
        box on
        ylim([-1,1]);
        xlim([-0.1*L,1.1*L]);
        xticks([]);
        yticks([]);
        title(['mode ',num2str(i),', freq = ',num2str(eigfreqs(i)/(2*pi),'%1.2f'),' Hz'],'fontsize',20)
        
        drawnow
        
        if saveImages
            disp(['mode ',num2str(i), ', total image number ',num2str(k)])
            filename = ['rod_modes_',num2str(k,'%04.0f'),'.png'];
            saveas(gcf,filename)
        end
    end
end

Die ersten beiden Schwingungsmoden zum Eigenwert 0 (genauer: Singulärewert) sind die sogenannte Starrkörpermoden, bei denen keine Verformung stattfindet.

Modellbildung und Simulation

Schwingungsmoden eines eindimensionalen Balkens

Contents

Schwingungsmoden eines eindimensionalen Balkens¶

Die Modellgleichungen¶

Was hat das mit Eigenwerten und Eigenvektoren zu tun?¶

Ihre Aufgabe¶

(a) einseitig eingespannt ist.¶

(b) beidseitig eingespannt ist.¶